ハイブリッド熱格子ボルツマン法のための温度結合アルゴリズム

 

本方法は、格子速度セットにおいて粒子間の衝突を引き起こす移送を用いて流体容積中の粒子移送をシミュレートする段階と、粒子移送に関する分布関数を生成する段階とを含み、分布関数は熱力学的ステップ及び粒子衝突ステップを含み、熱力学的ステップは粒子衝突ステップからは実質的に独立して切り離されている。
【選択図】 図13

 

 

(優先権の主張)
本出願は、2013年7月31日出願の米国仮特許出願第61/860,392号に対して米国特許法第119条(e)の下で優先権を主張するものであり、その開示内容全体は引用により本明細書に組み込まれている。
格子ボルツマン法(LBM)(又は熱格子ボルツマン法(TLBM))は、流体シミュレーションに関する計算流体力学(CFD)の1つの態様である。ナビエ−ストークス方程式を解く代わりに、離散ボルツマン方程式を解いてBhatnagar−Gross−Krook(BGK)などの衝突モデルを用いてニュートン流体の流れをシミュレートする。限定数の粒子にわたって流れ及び衝突過程をシミュレートすることにより、本質的な粒子相互作用は、より大きな集団にわたって適用可能な粘性流挙動の小世界を明示する。
米国特許第5594671号明細書
一般に、本明細書は、格子速度セットにおいて、粒子間の衝突を引き起こす移送を用いて流体容積中の粒子移送をシミュレートして、粒子移送に関する分布関数を生成するための技術を記載し、分布関数は、熱力学的ステップ及び粒子衝突ステップを含み、熱力学的ステップは、粒子衝突ステップから実質的に独立して切り離されている。
いくつかの実施例では、分布関数は、移流ステップをさらに含み、熱力学的ステップは、熱力学的ステップを用いて粒子衝突ステップを強化するのではなく、熱力学的ステップを用いて移流ステップを強化することによって、分布の一部に含まれる。別の実施例では、熱力学的ステップは、移送中の流体容積の温度を含む。さらに別の実施例では、生成することは、特定時間tにおける流体容積中の特定位置xでの衝突に関する衝突後分布関数fi′(x,t)を決定するステップであって、

であり、ここで、Ciは衝突演算子、fiは衝突前の粒子に関する分布関数である段階と、分画部分gi(x,t)を衝突後分布関数fi′(x,t)から差し引いて移流前の粒子密度分布関数
を得る段階であって、粒子の一部fi′(x,t)−gi(x,t)が流体容積中の別の位置に移流し、gi(x,t)は移流しない粒子の分布関数を表す、段階と、時間t+Δtにおいて粒子の一部の流体容積中の他の位置への移流をシミュレートする段階であって、他の位置が(x+ciΔt)として表され、ciが衝突前の粒子の速度ベクトルであり、Δtが特定の時間tと別の時点との間の間隔である、段階と、移流シミュレーションに基づいて、移流する粒子の密度分布関数
を得る段階であって、
であり、
は、位置x−ciΔtから移流した位置xにおける粒子の分布関数である、段階と、先に差し引いた部分gi(x,t)を密度分布関数へ戻して加えて移流後密度分布関数


を生成する段階と、時間t+Δtにおける位置xでの粒子の質量、運動量、及び温度を計算する段階と、計算された温度、質量、及び運動量を用いてgi(x,t+Δt)を決定する段階と、差分gi(x,t+Δt)−gi(x,t)を運動状態fi(x,t)+Ci(x,t)に加える段階と、を含む。 いくつかの実施例では、giは以下のように定義され、


ここで、ρは流体密度、T0は一定格子温度、Pは流体容積中の圧力、Tは計算された温度、及びwiは一定重み因子である。生成された分布関数は以下の通りであり、


ここで、xは容積中の特定位置、tは特定の第1の時点、iは格子速度セットのインデックス数、ciは衝突前の粒子の速度ベクトル、Ciは衝突演算子、Δtは第1の時点と第2の時点との間の間隔、giは熱力学的ステップ、及びfiは時間tにおける位置xでの粒子に対する分布関数である。 いくつかの実施例では、本方法は、静止状態を以下の式に従って変更することによって質量を保存することを含む。

別の実施例では、粒子の衝突ステップは、等温平衡分布関数を含む。他の実施例では、分布関数は、時間t+Δtにおける位置x+ciΔtでの分布関数であり、以下の通りであり、
ここで、xは容積中の特定位置、tは特定の第1の時点、iは格子速度のセットのインデックス数、Ciは衝突演算子、ciは衝突前の粒子の速度ベクトルであり、Δtは、第1の時点と第2の時点との間の間隔、giは熱力学的ステップ、fiは時間tにおける位置xでの粒子に対する分布関数である。さらに別の実施例では、giは以下のように定義され、
ここで、ρは流体密度、T0は一定格子温度、Pは流体容積中の圧力、Tは計算された温度、及びwiは一定の重み因子である。いくつかの実施例では、格子速度セットは、格子ボルツマン法に基づく。 前述の全て又は一部は、1又は2以上の不揮発性機械可読記憶媒体に記憶されかつ1又は2以上の処理装置で実行可能な命令を含むコンピュータプログラムとして実装することができる。前述の全て又は一部は、装置、方法、又は電子システムとして実装して前述の機能を実行することができ、電子システムは、1又は2以上の処理装置及び実行可能な命令を記憶するためのメモリを含むことができる。
1又は2以上の実施構成の詳細は、添付図面及び以下の説明で示される。他の特徴、目的、及び利点は、図面及び詳細な説明、並びに特許請求の範囲から明らになるはずである。
本システム、方式、及び技術は、多相流及び格子ボルツマン方式に関するShan−Chen法などの様々なタイプの数値シミュレーション手法を用いて実施することができる。格子ボルツマン方式に関する追加の情報を本明細書で以下に説明する。しかしながら、本明細書に説明するシステム及び技術は、格子ボルツマン方式を用いるシミュレーションに限定されず、他の数値シミュレーション手法に適用することができる。
システム及び技術は、格子ボルツマン方式を使用する格子ガスシミュレーションを使用して実施することができる。従来の格子ガスシミュレーションは、各格子部位での限られた数の粒子を仮定し、粒子は、ビットのショートベクトルによって表される。各ビットは、特定の方向に移動する粒子を表している。例えば、ベクトル中の1ビットは、特定の方向に沿って移動する粒子の存在(1に設定時)又は不在(0に設定時)を表すことができる。そのようなベクトルは、6ビットを有することができ、例えば、値110000は、2つの粒子がX軸に沿って反対方向に移動し、かつY軸及びZ軸に沿って移動する粒子がないことを示している。1組の衝突規則が、各部位での粒子間の衝突の挙動を支配する(例えば、110000ベクトルは、001100ベクトルになることができ、X軸に沿って移動する2つの粒子間の衝突は、Y軸に沿って離れる2つの粒子を生成したことを示す)。規則は、ビットに対して置換を実行する(例えば、110000を001100に変形する)ルックアップテーブルに状態ベクトルを供給することによって実施される。粒子は、その後に、隣接部位に移動される(例えば、Y軸に沿って移動する2つの粒子は、Y軸に沿って左右に隣接部位に移動されると考えられる)。
強化されたシステムにおいて、各格子部位での状態ベクトルは、粒子エネルギ及び移動方向の変動を与えるためにより多くのビットを含み(例えば、亜音速流れに対して54ビット)、完全な状態ベクトルの部分集合を伴う衝突規則が使用される。更に強化されたシステムにおいて、1つよりも多い粒子が、各格子部位又はボクセル(これらの2つの用語は、本明細書を通して交換可能に使用される)で各運動量状態で存在することが許される。例えば、8ビット実装において、0〜255個の粒子は、特定のボクセルで特定の方向に移動している可能性がある。状態ベクトルは、1組のビットである代わりに、1組の整数であり(例えば、1組の8ビットバイトが、0〜255の範囲の整数を与える)、その各々は、与えられた状態にある粒子の数を表する。
更なる強化において、格子ボルツマン方法(LBM)は、従来の計算流体力学(「CFD」)手法で可能であるよりも深いレベルで複合的な幾何学形状における3D不安定圧縮性乱流過程をシミュレートするために流体のメゾスコピック表現を使用する。LBM方法の概要を以下に与える。
ボルツマンレベルのメゾスコピック表現
流体システムは、いわゆる「メゾスコピック」レベルに対する運動方程式によって表すことができることが統計物理学で公知である。このレベルに対しては、個々の粒子の詳細な運動は決定する必要はない。これに代えて、流体の特性は、単一粒子位相空間、

を使用して定義される粒子分布関数によって表され、xは、空間座標であり、νは、粒子速度座標である。質量、密度、流量速度、及び温度のような典型的な流体力学的な量は、粒子分布関数の単純なモーメントである。粒子分布関数の力学は、ボルツマン方程式に従う。
方程式(1)
ここで、F(x,t)は、(x,t)で外部又は自己矛盾なく発生された物体力を表している。衝突項Cは、様々な速度及び位置の粒子の相互作用を表している。衝突項Cに対して特定の形態を指定することなく、上述のボルツマン方程式は、希薄ガスの公知の状況(ボルツマンによって本来構成されたような)だけでなく全ての流体システムに適用可能であることを強調することが重要である。 一般的に、Cは、二点相関関数の複雑な多次元積分を含む。分布関数fのみで閉じたシステムを形成するために、並びに効率的な計算のために、最も便利かつ物理的に一貫した形態の1つは、公知のBGK演算子である。BGK演算子は、衝突の詳細がたとえ何であろうとも、分布関数は、衝突:

方程式(2)
を通じて
によって与えられる明確な局所平衡に近づくという物理的議論に従って構成され、ここで、パラメータτは、衝突を通じた平衡までの固有緩和時間を表している。粒子(例えば、原子又は分子)を扱うと、緩和時間は、典型的には定数として取られる。「混成」(水力−動力学)表現において、この緩和時間は、歪み率及び乱流運動エネルギなどのような流体力学的変数の関数である。すなわち、乱流は、局所的に決定された固有特性を有する乱流粒子(「渦」)のガスとして表すことができる。 ボルツマン−BGK方程式の数値解は、ナビエ−ストークス方程式の解に優るいくつかの計算上の利点を有する。第1に、複雑な非線形項又は高次空間導関数が方程式にないことを直ちに認識することができ、すなわち、移流不安定性に関する問題がほとんどない。このレベルの記述では、方程式は、圧力を扱う必要がないので局所的であり、これは、アルゴリズム並列化に対してかなりの利点を提供する。2次空間導関数を有する拡散演算子がないという事実と共に線形移流演算子の別の望ましい特徴は、流体偏微分方程式(「PDE」)の数学的な条件ではなく、実際に粒子が固体面と真に相互作用する方法を模倣するように非スリップ面又はスリップ面のような物理的境界条件を実現する際の容易さである。直接の利益の1つは、固体面上でインタフェースの移動を処理する問題がないということであり、これは、格子ボルツマンベースのシミュレーションソフトウエアが失敗なく複合乱流空気力学をシミュレートすることを可能にするのを補助する。これに加えて、有限粗度面のような境界からのある一定の物理特性も、力に組み込むことができる。更に、BGK衝突演算子は、純粋に局所的であり、一方、自己矛盾のない物体力の計算は、近−隣接情報のみを通して達成することができる。その結果、ボルツマン−BGK方程式の計算は、並列処理に実質的に適応させることができる。
格子ボルツマン方式
連続体ボルツマン方程式を解くことは、それが位置及び速度位相空間における積分微分方程式の数値評価を伴うということで有意な課題を表している。位置だけでなく速度位相空間も離散化することができることが観測された時に大規模な簡素化が行われ、それは、ボルツマン方程式の解のための効率的な数値アルゴリズムをもたらした。流体力学的な量は、高々最近隣接情報に依存する単純和の項で書くことができる。従来的には、格子ボルツマン方程式の方式は、速度の離散集合:

に対する粒子の推移を規定する格子ガスモデルに基づいていたが、この方程式は、連続体ボルツマン方程式の離散化としての第1の原理から系統的に導出することができる。その結果、LBEは、格子ガス手法に関連付けられた公知の問題を被らない。従って、位相空間における連続体分布関数f(x,ν,t)を取り扱う代わりに、離散速度指数をラベル付けする下付き文字を有する離散分布の有限集合
を追跡することが必要なだけである。巨視的記述の代わりにこの動態方程式を取り扱う重要な利点は、システムの位相空間の増大が、問題の局所性によってオフセットされるということである。 対称性の考慮に起因して、速度値の集合は、それらが構成空間内で張られた時にある一定格子構造を形成するように選択される。そのような離散システムの力学は、形態:

を有するLBEに従い、ここで、衝突演算子は、上述のように通常はBGK形態を取る。平衡分布形態の適正な選択により、格子ボルツマン方程式は正しい流体力学及び熱−流体力学を生じさせることを理論的に示すことができる。すなわち、
から導出された流体力学モーメントは、巨視的限界においてナビエ−ストークス方程式に従う。これらのモーメントは、
方程式(3)
して定義され、ここで、ρ、u、及びTは、それぞれ、流体密度、速度、及び温度であり、Dは、離散化された速度空間の次元(物理空間次元に全く等しくない)である。 他の特徴及び利点は、図面及び特許請求の範囲を含めて、以下の説明から明らかとなる。
LBMモデルの速度成分を例示する。 LBMモデルの速度成分を例示する。 物理過程シミュレーションシステムが従う手順の流れ図である。 マイクロブロックの斜視図である 図3のシステムで使用する格子構造を例示する。 図3のシステムで使用する格子構造を例示する。 可変分解能技術を例示する。 可変分解能技術を例示する。 表面のファセットにより影響を受ける領域を例示する。 ボクセルから表面への粒子の移動を例示する。 表面から表面への粒子の移動を例示する。 表面動力学を実行するための手順の流れ図である。 粒子衝突ステップから独立した熱力学ステップを用いて分布関数を生成する過程の流れ図である。 粒子衝突ステップから独立した熱力学ステップを用いて分布関数を生成するシステムの構成要素のブロック図である。
A.概要
本開示に適合するシステムは、温度結合を衝突ステップから取り除いて、温度を組み込んだ別個の熱力学的ステップとして温度結合をLBMの中に導入することによって、温度をLBMに結合する。熱力学的ステップ(LBMを用いて生成される)を分布関数に導入することによって、この分布関数は、高マッハ数及び高い温度範囲用途のシミュレーションを行うために用いることができる(温度範囲の制限を課する1次項を修正することによって温度をLBMに結合しないという理由で)。
B.シミュレーション空間のモデル化
LBMベースの物理過程シミュレーションシステムでは、離散速度ciの集合で評価される分布関数値fiによって、流体の流れを表現することができる。分布関数の力学は、方程式4により支配され、ここにfi(0)は平衡分布関数として知られ、

方程式(4)
として定義され、ここで、
である。
方程式(5)
この方程式は、分布関数fiの時間発展を説明する、よく知られた格子ボルツマン方程式である。左辺はいわゆる「流動過程」による分布の変化を表す。流動過程は、流体ポケットが或るグリッド位置から出発して、それから速度ベクトルの1つに沿って次のグリッド位置へ移動する過程である。その地点で、「衝突演算子」つまり近接した流体ポケットの開始流体ポケットへの影響を計算する。流体は別のグリッド位置に移動することだけが可能なので、全速度の成分全体は共通した速度の倍数であるように速度ベクトルの適切な選択が必要である。 第1の方程式の右辺は、流体ポケット間の衝突による分布関数の変化を表す前述の「衝突演算子」である。本明細書で使用する衝突演算子の特別な形式は、Bhatnagar、Gross及びKrook(BGK)によるものである。衝突演算子は、分布関数を、「平衡」形である第2の式により与えられる規定値へ向かうように強いる。
このシミュレーションから、密度ρ及び流速uなどの従来の流体変数は、式(3)の単純和として得ることができる。ここで、ci及びwiの集団的な値はLBMモデルを規定する。LBMモデルは、大規模に実現可能なコンピュータ・プラットフォームで効率的に実行することができ、時間的に不安定な流れ及び複雑な境界条件に対して高い堅牢性で走らせることができる。
ボルツマン方程式から流体システムに対する巨視的な運動方程式を得るための標準的な技術は、Chapman−Enskog法であり、そこでは完全なボルツマン方程式の逐次近似がなされる。
流体システムでは、密度の小さな擾乱が音速で伝播する。気体系では、音速は一般に温度で決まる。流れにおける圧縮性の影響の重要性は、特徴的な速度と音速との比によって評価され、それはマッハ数として知られる。
図1を参照すると、第1モデル(2D−1)100は21個の速度を含む2次元モデルである。これら21個の速度の内、1個(105)は動いていない粒子を表し、3組の4速度は、正規化速度(r)(110−113)、正規化速度の2倍(2r)(120−123)又は正規化速度の3倍(3r)(130−133)で、格子のx軸又はy軸に沿って正方向又は負方向に動いている粒子を表し、2組の4速度は、正規化速度(r)(140−143)又は正規化速度の2倍(2r)(150−153)で、2組の4速度は、格子のx軸とy軸の両方に対して動いている粒子を表す。
さらに図2に図示するように、第2モデル(3D−1)200は39個の速度を含む3次元モデルであり、各速度は図2の矢印の内の1つにより表されている。これら39個の速度の内、1個は動いていない粒子を表し、3組の6速度は、正規化速度(r)、正規化速度の2倍(2r)又は正規化速度の3倍(3r)で、格子のx軸、y軸又はz軸に沿って正方向又は負方向に動いている粒子を表し、8個は、正規化速度(r)でx、y、zの全3格子軸に対して動いている粒子を表し、12個は、正規化速度の2倍(2r)でx、y、zの格子軸の内の2つに対して動いている粒子を表す。
例えば、3D−2は101個の速度を含み、2D−2モデルは37個の速度を含むなど、さらに複雑なモデルも使用することができる。
3次元モデル3D−2に関しては、101個の速度の内、1個は動いていない粒子を表し(グループ1)、3組の6速度は、正規化速度(r)、正規化速度の2倍(2r)又は正規化速度の3倍(3r)で、格子のx軸、y軸又はz軸に沿って正方向又は負方向に動いている粒子を表し(グループ2、4及び7)、3組の8速度は、正規化速度(r)、正規化速度の2倍(2r)又は正規化速度の3倍(3r)で、x、y、zの全3格子軸に対して動いている粒子を表し(グループ3、8及び10)、12個は、正規化速度の2倍(2r)でx、y、zの格子軸の内の2つに対して動いている粒子を表し(グループ6)、24個は、正規化速度(r)及び正規化速度の2倍(2r)でx、y、zの格子軸の内の2つに対して動いており、残る1軸に対しては動いていない粒子を表し(グループ5)、24個は、正規化速度(r)でx、y、zの格子軸の内の2つに対して動いており、残る1軸に対しては正規化速度の3倍(3r)で動いている粒子を表す(グループ9)。
2次元モデル2D−2に関しては、37個の速度の内、1個は動いていない粒子を表し(グループ1)、3組の4速度は、正規化速度(r)、正規化速度の2倍(2r)又は正規化速度の3倍(3r)で、格子のx軸又はz軸に沿って正方向又は負方向に動いている粒子を表し(グループ2、4及び7)、2組の4速度は、正規化速度(r)又は正規化速度の2倍(2r)で、格子のx軸とy軸の両方に対して動いている粒子を表し、8速度は、正規化速度(r)で格子のx軸とy軸の内の1つに対して、他方の軸に対しては正規化速度の2倍(2r)で動いている粒子を表し、8速度は、正規化速度(r)で格子のx軸とy軸の内の1つに対して、他方の軸に対しては正規化速度の3倍(3r)で動いている粒子を表す。
前記のLBMモデルは、2次元及び3次元の流れの数値シミュレーション用の効率的で堅牢な、離散速度の動力学的モデルの特定のクラスを提供する。この種のモデルには、離散速度とこれらの速度に関係する重みとの特定の組が含まれる。速度は速度空間においてデカルト座標のグリッド点と一致し、これにより、離散速度モデル、特に格子ボルツマンモデルとして知られる種類の正確で効率的な実行が容易になる。このようなモデルを用いて、流れを高い忠実度でシミュレートすることができる。
図3を参照すると、物理過程シミュレーションシステムは、流体の流れなどの物理過程をシミュレートするために手順300に従って作動する。シミュレーションに先立って、シミュレーション空間をボクセルの集合としてモデル化する(ステップ302)。通常、シミュレーション空間はコンピュータ支援設計(CAD)を用いて生成される。例えば、CADプログラムは、風洞に置かれた微小デバイスを描くために使用することができる。その後に、適切な分解能を備える格子構造を加えるために、及びシミュレーション空間内の物体及び表面に対処するために、CADプログラムにより作成されたデータを処理する。
格子の分解能は、シミュレートするシステムのレイノルズ数に基づいて選択することができる。レイノルズ数は、流れの粘度(ν)、流れ中の物体の特徴的な長さ(L)、及び流れの特徴的な速度に関係し、


方程式(6)
である。 物体の特徴的な長さは、物体の大規模な特徴を表す。例えば、微小デバイスの周りの流れがシミュレートされる場合には、微小デバイスの高さは、特徴的な長さであると見なすことができる。物体の小領域(例えば、自動車のサイドミラー)周りの流れが関心領域である場合には、シミュレーションの分解能を増大させることができ、又は関心領域の周りには分解能が増大した領域を使用することができる。ボクセルの寸法は、格子の分解能が増加するにつれて減少する。
状態空間は、fi(x,t)として表され、fiは、時間tにおいて3次元ベクトルxにより示される格子部位で状態iにある単位容積当たりの要素又は粒子の数(つまり、状態iの粒子密度)を表す。既知の時間増分に対しては、粒子数を単にfi(x)と呼ぶ。1つの格子部位の全ての状態の組み合わせをf(x)として示す。
状態の数は、各エネルギ準位内の可能な速度ベクトルの数により決定される。速度ベクトルは、3次元x、y、及びzを備える空間において整数値の線速度から構成される。状態の数は、複数の種シミュレーションに対して増大される。
各状態iは、特定エネルギ準位での異なる速度ベクトルを表す(つまり、エネルギ準位0、1又は2)。各状態の速度ciは、以下のように3つの次元の各々におけるその「速度」で示す。

方程式(7) エネルギ準位0状態は、いずれの次元でも動いていない、つまりcstopped=(0、0、0)である静止粒子を表す。エネルギ準位1状態は、3つの次元の内の1つで±1の速度、他の2つの次元では速度0を有する粒子を表す。エネルギ準位2状態は、全ての3つの次元で±1の速度、又は3つの次元のうちの1つで±2の速度及び他の2つの次元で速度0を有する粒子を表す。
3つのエネルギ準位の可能な順列の全てを生成することにより、合計39個の可能な状態(1個のエネルギ0状態、6個のエネルギ1状態、8個のエネルギ3状態、6個のエネルギ4状態、12個のエネルギ8状態、及び6個のエネルギ9状態)が得られる。
各ボクセル(つまり、各格子部位)は、状態ベクトルf(x)により表される。状態ベクトルはボクセルのステータスを完全に規定し、39個のエントリを含む。39個のエントリは、1個のエネルギ0状態、6個のエネルギ1状態、8個のエネルギ3状態、6個のエネルギ4状態、12個のエネルギ8状態、及び6個のエネルギ9状態に対応する。この速度セットを使用することによって、システムは、実現された平衡状態ベクトルに関してマックスウェル−ボルツマン統計を生成することができる。
処理効率のために、ボクセルをマイクロブロックと呼ばれる2x2x2ボリュームにグループ化する。マイクロブロックは、ボクセルの並列処理を可能にし、かつデータ構造に関連づけされたオーバーヘッドを最小化するように構成される。マイクロブロック内のボクセルの略記法は、Ni(n)として規定され、nは、マイクロブロック内の格子部位の相対位置を表し、n∈{0,1,2,...,7}である。マイクロブロックを図4に示す。
図5A及び5Bを参照すると、表面Sはシミュレーション空間においてファセットFαの集合として表され、

方程式(8)
ここで、αは、特定のファセットを列挙する指標である。ファセットは、ボクセルの境界に限定されず、通常は、ファセットが比較的小さな数のボクセルに影響を与えるように、ファセットを隣接するボクセルの大きさの程度に又はそれより僅かに小さくサイズ設定される。表面動力学を実行するために、ファセットに特性を割り当てる。特に、各ファセットFαは、単位法線(nα)、表面積(Aα)、中心位置(xα)、及びファセットの表面動力学特性を説明するファセット分布関数(fi(α))を有する。 図6を参照すると、処理効率を向上させるために、異なるレベルの分解能をシミュレーション空間の異なる領域で使用することができる。通常は、物体655の周りの領域650が最大関心領域なので、最高分解能でシミュレートされる。粘性の影響は物体からの距離と共に減少するので、低レベルの分解能(つまり、拡張されたボクセルボリューム)を使用して、物体655から増大する距離で離間する領域660、665をシミュレートする。同様に、図7に図示するように、より低レベルの分解能を使用して、物体775のより有意でない特徴部の周りの領域770をシミュレートすることができるが、最高レベルの分解能を使用して、最も有意な特徴部(例えば、先端面及び後端面)の周りの領域780をシミュレートする。周辺領域785は、最低レベル分解能と最大のボクセルとを用いてシミュレートする。
C.ファセットに影響を受けるボクセルの特定
図3を再び参照すると、シミュレーション空間をモデル化した状態で(ステップ302)、1又は2以上のファセットにより影響を受けるボクセルを特定する(ステップ304)。ボクセルは、多くの点でファセットの影響を受ける場合がある。最初に、1又は2以上のファセットと交差するボクセルは、交差しないボクセルと比べて低減された容積を有するという点で影響を受ける。これは、ファセット及びファセットにより表される表面下にある物質がボクセルの一部を占めるので発生する。分画因子Pf(x)は、ファセットの影響を受けないボクセルの部分(つまり、流れがシミュレートされる流体又は他の物質が占める可能性がある部分)を示す。交差しないボクセルに対しては、Pf(x)は1に等しい。
粒子をファセットに移動するか又は粒子をファセットから受け取ることによって1又は2以上のファセットと相互作用するボクセルも、ファセットにより影響を受けるボクセルとして特定される。ファセットと交差する全てのボクセルは、ファセットから粒子を受け取る少なくとも1つの状態と、粒子をファセットへ移動する少なくとも1つの状態とを含むことになる。ほとんどの場合に、付加的なボクセルは、このような状態を含むことになる。
図8を参照すると、0以外の速度ベクトルciを有する各状態iに対して、ファセットFαは、平行六面体Gにより画定される領域から粒子を受け取るか又はこの領域へ粒子を移動するが、この平行六面体は速度ベクトルciとファセットの単位法線とのベクトルドット積(|cii|)の大きさにより規定される高さとファセットの表面積Aαにより規定される底面とを有するので、平行六面体Gの容積Vは次のようになる。

方程式(9) ファセットFαは、状態の速度ベクトルがファセットに向けられた時に(|cii|<0)、容積Vから粒子を受け取り、状態の速度ベクトルがファセットから離れるように向けられた時に(|cii|>0))、その領域へ粒子を移動する。以下に説明するように、この式は、別のファセットが平行六面体Giαの一部、すなわち、内部のコーナのような非凸面特徴部の近くに発生する可能性がある状態を占有した時には修正する必要がある。
ファセットFαの平行六面体Gは、複数のボクセルの内の一部又は全てと重なる場合がある。ボクセル又はその部分の数は、ボクセルのサイズに対するファセットのサイズ、状態のエネルギ、及び格子構造に対するファセットの向きに依存する。影響を受けるボクセルの数は、ファセットのサイズと共に増加する。従って、ファセットのサイズは、上述のように、通常はファセット近くに位置するボクセルのサイズと同程度に又はそれより小さいように選択される。
平行六面体Gと重なるボクセルN(x)の一部分は、V(x)として定義する。この項を使用して、ボクセルN(x)とファセットFαとの間を移動する状態i粒子の流束Γ(x)は、ボクセル(Ni(x))における状態i粒子の密度にボクセルと重なる領域の容積(V(x))を乗じたものに等しい。

方程式(10) 平行六面体Gが1又は2以上のファセットと交差する場合、以下の条件が正しく、

方程式(11)
ここで、第1の和は、Gと重なる全ボクセルに相当し、第2の項は、Gと交差する全てのファセットに相当する。平行六面体Gが別のファセットと交差しない場合、この式は以下に帰する。
方程式(12) D.シミュレーションの実行
1又は2以上のファセットにより影響を受けるボクセルが特定された状態で(ステップ304)、シミュレーションを開始するためにタイマを初期化する(ステップ306)。シミュレーションの各時間増分中に、粒子のボクセルからボクセルへの移動は、粒子の表面ファセットとの相互作用に対応する移流段階(ステップ308−316)によりシミュレートされる。次いで、衝突段階(ステップ318)は、各ボクセル内の粒子の相互作用をシミュレートする。次に、タイマを増分する。増分されたタイマがシミュレーションの完了(ステップ322)を示さない場合、移流段階及び衝突段階(ステップ308−320)が繰り返される。増分されたタイマがシミュレーションの完了(ステップ322)を示す場合、シミュレーションの結果を記憶及び/又は表示する(ステップ324)。
1.表面に対する境界条件
表面との相互作用を正確にシミュレートするために、各ファセットは、4つの境界条件を満たす必要がある。第1に、ファセットが受け取る粒子の合計質量は、ファセットが移送する粒子の合計質量に等しくなければならない(つまり、ファセットに対する正味の質量流束は0でなければならない)。第2に、ファセットが受け取る粒子の合計エネルギは、ファセットが移送する粒子の合計エネルギに等しくなければならない(つまり、ファセットに対する正味のエネルギ流束は0でなければならない)。これら2つの条件は、各エネルギ準位(つまり、エネルギ準位1及び2)での正味質量流束が0に等しいことを必要とすることにより満たすことができる。
他の2つの境界条件は、ファセットと相互作用する粒子の正味運動量に関連する。本明細書では滑り面として言及する、表面摩擦のない表面に対しては、正味接線方向運動量流束は0でなければならず、正味法線方向運動量流束はファセットでの局所的な圧力に等しくなければならない。従って、受け取った合計運動量と移送した合計運動量の、ファセットの法線nαに対して垂直な成分(つまり、接線方向成分)は等しくなければならないが、受け取った合計運動量と移送した合計運動量の、ファセットの法線nαに対して平行な成分(つまり、法線方向成分)の差はファセットでの局所的な圧力に等しくなければならない。非滑り面に対しては、表面の摩擦は、ファセットが受け取る粒子の合計接線方向運動量に対するファセットが移送する粒子の合計接線方向運動量を摩擦量に関連する係数だけ減少させる。
2.ボクセルからファセットへの集まり
粒子と表面間の相互作用をシミュレートする場合の第1のステップとして、粒子は、ボクセルから集めてファセットへ供給する(ステップ308)。前述のように、ボクセルN(x)とファセットFαとの間の状態i粒子の流束は、以下のようになる。

方程式(13) この式から、ファセットFα(ciα<0)に向けられた各状態iに対して、ボクセルからファセットFαに供給される粒子数は、以下のようになる。

方程式(14) V(x)が0以外の値を有するボクセルのみを合計する必要がある。前述のように、ファセットのサイズは、V(x)が少数のボクセルに対してのみ0以外の値を有するように選択される。V(x)及びPf(x)が非整数値を取る場合があるので、Γα(x)は、実数として記憶及び処理される。
3.ファセットからファセットへ移動
次に、粒子をファセット間で移動させる(ステップ310)。ファセットFαの流入状態(ciα<0)の平行六面体Gが別のファセットFβと交差する場合、ファセットFαが受け取る状態iの粒子の一部は、ファセットFβから到来することになる。特に、ファセットFαは、以前の時間増分中にファセットFβにより生成される状態i粒子の一部を受け取ることになる。この関係を図10に示すが、ファセットFβと交差する平行六面体Gの部分1000は、ファセットFαと交差する平行六面体Gの部分1005に等しい。前述のように、交差する部分は、V(β)として示す。この項を使用して、ファセットFβとファセットFαとの間の状態i粒子の流束は、以下のように説明することができ、

方程式(15)
ここで、Γi(β,t−1)は、前回の時間増分中にファセットFβによって生成された状態i粒子の尺度である。この式から、ファセットFα(ciα<0)に向けられた各状態iに対して、他のファセットによりファセットFαに供給される粒子数は、
方程式(16)
であり、ファセットへの状態i粒子の全流束は、以下のようになる。
方程式(17) ファセット分布関数とも呼ばれるファセットに対する状態ベクトルN(α)は、ボクセル状態ベクトルのMエントリに対応するMエントリを有する。Mは、離散格子速度の数である。ファセット分布関数N(α)の入力状態は、それらの状態への粒子の流束を容積Vで割ったものに等しく設定され、ciα<0に対して以下のようになる。

方程式(18) ファセット分布関数は、ファセットからの出力流束を生成するためのシミュレーションツールであり、必ずしも実際の粒子を表すものではない。正確な出力流束を生成するために、他状態の分布関数に値を割り当てる。外向きの状態は、内向きの状態をポピュレートするために前述の技術を使用してポピュレートされ、ciα≧0に対して

方程式(19)
となり、ここで、Γiother(α)は、ΓiIN(α)を生成するための前述の技術を用いるが、流入状態(ciα<0)以外の状態(ciα≧0)にこの技術を適用して決定する。代替技術では、前回の時間ステップからΓiOUT(α)の値を用いて、Γiother(α)を生成することができるので、
方程式(20)
となる。 平行状態(ciα=0)に対しては、V及びV(x)は共に0である。Ni(α)の式において、Viα(x)は分子に現れ(Γiother(α)の式から)、Vは、分母に現れる(Ni(α)の式から)。従って、平行状態に対するNi(α)は、V及びV(x)が0に近づく時のNi(α)の極限値として決定される。
0速度を有する状態(つまり、静止状態及び状態(0、0、0、2)及び(0、0、0、−2))の値は、温度と圧力に関する初期条件に基づいてシミュレーションの最初に初期化される。これらの値は、その後、時間と共に調整される。
4.ファセットの表面力学の実行
次に、各ファセットが前述の4つの境界条件を満たすように、表面力学を実行する。ファセットに対して表面力学を実行するための手順を図11に示す。最初に、ファセットFαに垂直な合計運動量は、ファセットにおける粒子の合計運動量P(α)を確定することによって、以下のように決定され(ステップ1105)、全てのiに対して

方程式(21)
これから、法線方向運動量Pn(α)は、以下のように決定される。
方程式(22) その後、この法線方向運動量は、Nn-(α)を生成するために押込/引抜技術(ステップ1110)を用いて除去する。この技術に従って、法線方向運動量にのみ影響を及ぼすように状態間で粒子を移動させる。この押込/引抜技術は米国特許第5,594,671号に記載されており、この特許は、引用により組み込まれている。
その後、Nn-(α)の粒子を衝突させてボルツマン分布Nn-β(α)を生成する(ステップ1115)。流体力学の実行に関して以下で説明するように、ボルツマン分布は、1組の衝突規則をNn-(α)に適用することによって実現することができる。
その後、ファセットFαに関する流出流束分布を流入流束分布及びボルツマン分布に基づいて決定する(ステップ1120)。最初に、流入流束分布Γi(α)とボルツマン分布との差を以下のように決定する。

方程式(23) この差分を用いると、流出流束分布は、nαi>0に対して

方程式(24)
であり、ここで、i*は、状態iと反対の方向を有する状態である。例えば、状態iが(1、1、0、0)の場合、状態i*は、(−1、−1、0、0)である。表面摩擦及び他の要因を考慮するために、流出流束分布を以下のようにさらに精緻化することができる。
αi>0に対して、
方程式(25)
ここで、Cfは、表面摩擦関数であり、tは、nαに垂直な第1の接線ベクトルであり、tは、nα及びtに垂直な第2の接線ベクトルであり、ΔNj,1及びΔNj,2は、状態i及び表示される接線ベクトルのエネルギ(j)に対応する分布関数である。分布関数は以下の方程式に従って決定する。
方程式(26)
ここで、jは、エネルギ準位1に対して1、エネルギ準位2に対して2に等しい。 ΓiOUT(α)の方程式の各項の関数は以下の通りである。第1及び第の2項は、衝突がボルツマン分布を生み出すことに有効な範囲で法線方向運動量流束の境界条件を実行するが、接線方向運動量流束偏差を含む。第4及び第5の項は、不十分な衝突による離散効果又は非ボルツマン構造に起因して生ずる場合があるこの偏差を補正する。最後に、第3の項は、表面上の接線方向運動量の所望の変化を強いるために特定の量の表面分画を追加する。摩擦係数Cfの生成を以下に説明する。ベクトル演算を伴う全ての項は、シミュレーションの開始に先立って計算することのできる幾何形状因子であることに留意されたい。
これにより、接線方向速度を以下のように決定する。

方程式(27)
ここで、ρは、ファセット分布の密度である。
方程式(28) 前と同様に、流入流束分布とボルツマン分布との差を以下のように決定する。

方程式(29) 従って、流出流束分布は、以下のようになる。

方程式(30)
この方程式は、前回の技術によって求めた流出流束分布の最初の2行に対応するが、特異な接線方向流束に対する補正を必要としない。 あらゆる手法を用いても、結果として生じる流束分布は、運動量流束の条件の全てを満たし、つまり、

方程式(31)
であり、ここで、pαは、ファセットFαにおける平衡圧力であり、ファセットに粒子を与えるボクセルの平均密度及び温度値に基づいており、uαは、ファセットの平均速度である。 質量及びエネルギの境界条件が満たされることを保証するために、入力エネルギと出力エネルギとの差を、以下のように各エネルギ準位jに対して測定する。

方程式(32)
ここで、指標jは、状態iのエネルギを示す。その後、このエネルギ差を使用して差の項を生成する。
jiα>0に対して、
方程式(33)
この差の項は、流束が以下になるように流出流束を修正するために使用する。
jiα<0に対して、
方程式(34)
この演算は、質量及びエネルギの流束を補正するが、接線方向の運動量流束を不変のままにする。この調整は、流れがファセットの近傍でほぼ均一で平衡状態に近い場合は小さい。この調整の後に、結果として得られた法線方向運動量流束は、近傍の不均一性又は非平衡特性に起因する補正を加えて近傍の平均特性に基づいて平衡圧力である値に僅かに変更される。 5.ボクセルからボクセルへの移動
再び図3を参照すると、粒子を3次元直線格子に沿ってボクセル間で移動させる(ステップ314)。このボクセルからボクセルへの移動は、ファセットとは相互作用しないボクセル(つまり、表面近くに位置しないボクセル)で実行される唯一の移動演算である。典型的なシミュレーションでは、表面と相互作用するほどには近くに位置していないボクセルは、ボクセルの大多数を構成する。
異なる状態の各々は、3次元x、y及びzの各々において整数速度で格子に沿って移動する粒子を表す。整数速度は、0、±1及び±2を含む。速度の符号は、粒子が対応する軸に沿って移動している方向を示す。
表面と相互作用しないボクセルに関して、移動演算は、計算的にはきわめて簡単である。各時間増分中に、状態の全粒子数を現在のボクセルから目的地ボクセルへ移動させる。同時に、目的地ボクセルの粒子をボクセルから固有の目的地ボクセルへ移動させる。例えば、+1x方向(1、0、0)に移動しているエネルギ準位1の粒子は、現在のボクセルからx方向に+1、他の方向に対して0のボクセルに移動させる。粒子は、結局、移動(1、0、0)の前に有していたのと同じ状態で目的地ボクセルに行く。ボクセル内の相互作用は、他の粒子及び表面との局所的な相互作用に基づいて、その状態に対して粒子総数を変化させることになる。そうでない場合は、粒子は同じ速度及び同じ方向で格子に沿って移動し続けることになる。
移動演算は、1又は2以上の表面と相互作用するボクセルに対しては少し複雑となる。これにより、1又は2以上の分画粒子は、ファセットに移送される。このような分画粒子のファセットへの移送により分画粒子はボクセル内に残る。これらの分画粒子は、ファセットで占有されるボクセルへ移送される。例えば、図9を参照すると、ボクセル905の状態i粒子の部分900がファセット910に移動した場合(ステップ308)、残りの部分915は、ボクセル920へ移動させるが、そこにはファセット910が位置しており、状態iの粒子はそこからファセット910へ向けられる。従って、状態粒子数が25に等しく、V(x)が0.25に等しい場合(つまり、ボクセルの4分の1が平行六面体と交差する)、6.25個の粒子は、ファセットFαに移動させることになり、18.75個の粒子は、ファセットFαにより占有されたボクセルへ移動させることになる。複数のファセットが単一のボクセルと交差することができるので、1又は2以上のファセットにより占有されたボクセルN(f)に移送される状態iの粒子数は、以下のようになる。

方程式(35)
ここで、N(x)は、ソースボクセルである。 6.ファセットからボクセルへの散乱
次に、各ファセットからの流出粒子をボクセルに散乱させる(ステップ316)。本質的に、このステップは、粒子をボクセルからファセットへ移動させた収集ステップの逆である。ファセットFαからボクセルN(x)へ移動する状態iの粒子数は、以下の通りである。

方程式(36)
ここで、Pf(x)は、部分的なボクセルの容積減少に対処する。これから、各状態iに対して、ファセットからボクセルN(x)に向けられる全粒子数は以下のようになる。
方程式(37) 粒子をファセットからボクセルまで散乱させ、周囲のボクセルから流入した粒子と結合して結果を整数化した後に、特定のボクセルの特定の方向がアンダーフローするか(負になる)、又はオーバーフロー(8ビット実装で255を超える)する可能性がある。これは、これらの量が許容範囲の値に適合するように切り捨てられた後に、質量、運動量、及びエネルギの取得又は損失をもたらす。このような事象の発生を防ぐために、範囲を越えた質量、運動量、及びエネルギが、問題のある状態の切り捨てに先立って蓄積される。状態が属するエネルギに関して、得られる(アンダーフローによる)又は失われる(オーバーフローによる)値に等しい量の質量は、同じエネルギを有しかつそれ自体オーバーフロー又はアンダーフローを受けないランダムに(又は連続的に)選択された状態に追加される。この質量及びエネルギの追加から生じる追加の運動量は蓄積され、切り捨てられた運動量に追加される。同じエネルギ状態にだけ質量を追加することにより、質量カウンタが0に到達した場合に質量及びエネルギの両方が補正される。最後に、運動量アキュムレータが0に戻るまで、運動量は、押込/引抜技術を利用して補正される。
7.流体力学の実行
最後に、流体力学を実行する(ステップ318)。このステップは、微視的動力学又はボクセル内演算と呼ぶことができる。同様に、移流手順は、ボクセル内演算と呼ぶことができる。また、以下に説明する微視的動力学演算を使用して、ファセットで粒子を衝突させてボルツマン分布を生成することができる。
流体力学は、BGK衝突モデルとして知られる特定の衝突演算子によって格子ボルツマン方程式において保証される。この衝突モデルは、実際の流体システムの分布の動力学を模倣している。衝突過程は、方程式1の右辺及び式2によりうまく説明することができる。移流ステップの後で、流体システムの保存量、具体的には、密度、運動量、及びエネルギは、方程式3を用いて分布関数から取得する。これらの量から、方程式(2)のfeqで説明される平衡分布関数は、方程式(4)により完全に特定される。速度ベクトルセットci及び重みの選択は表1に列挙され、方程式2と一緒に、巨視的挙動が正確な流体力学の方程式に従うことを保証する。
E.ハイブリッド熱格子ボルツマン法
格子ボルツマン法(LBM)は、従来の計算流体力学(CFD)の代わりに、非圧縮性極限近傍での広範な産業用途のために用いられる。熱的用途に関して、H定理の欠如に起因して、エネルギ保存則を用いたLBソルバーは非常に不安定であり、正確な結果を与えるにはより高次のモデルを必要とする。質量及び運動量に加えて、エネルギに対する境界条件をさらに適用するには、複雑なアルゴリズムが必要となる。これらの困難性を回避するために、大部分のLBM法は、エネルギに関する別の有限差分ソルバー又は格子ボルツマンスカラーのいずれかを使用する。便宜上、以下の方程式の番号付与は(1.0)で再開することになる。
標準等温LBMは以下の方程式により与えられ、

方程式(1.0)
ここで、fi(x,t)は、(x,t)における速度値ciに対する粒子分布関数であり、Ci(x,t)は、粒子衝突演算子である。最も一般的に使用される衝突演算子は、例えば、以下のBGK形式を有する。
方程式(1.1) 方程式(1.1)において、fi(x,t)は粒子分布関数であり、τは緩和時間である。標準平衡分布、fieqは、以下の通りである。

ここで、定数の重み因子wi及び格子温度T0は、格子セットに基づく。重み因子の目的は、予測次数までのモーメント等方性を満たすことである。例えば、D3Q19に対して、T0値は(1/3)であり、重み因子は2次までのモーメント等方性を満たす。前記の等温LBMは状態方程式P=ρT0をもたらす。本実施例では、Pは圧力(例えば、Nm-2で)、ρは密度(例えば、kgm-3で)、及びT0は温度定数である。 ハイブリッド熱LBMソルバーの場合、温度をLBMに戻す結合は、2次モーメントが実際の圧力をもたらすように平衡分布の1次項を修正することによって実行される。修正されたLBM方程式は以下の通りである。

ここで、
である。 方程式(1.4)では、Pは実際の状態方程式を満たす。理想気体ではP=ρRTであり、Rは気体定数である。静止状態の平衡状態における因子βは、

により与えられ、qは運動格子の総数である 前記の平衡状態の修正は、0次及び1次のモーメントを変えず、2次モーメントに関して正確な熱力学的圧力をもたらす。

この手法は、従来のLBMに対して最小限の修正しか必要とせず、2次モーメントとして得られる圧力は、全格子方向を含む。このアルゴリズムの大きな欠点は、最大次数の項(leading order term)の変化に起因して該アルゴリズムが課する温度範囲の制限である。例えば、理想気体に関して、D3Q19格子セットに対する静止状態の分布は以下の通りである。

RT>1.5T0となる高温に対しては、静止状態の平衡状態は負となるので不安定となる。また、RT<1.5T0となる低温に対しては、運動状態の正値範囲は減少し、同様に高い速度での不安定性につながる。この欠点に起因して、大部分のハイブリッド熱LBMモデルは、低温範囲及び低マッハ数の用途に制限される。
F.力スキーム(force scheme)を用いた手法
別の手法において、等温LBMから生じる圧力と実際の状態方程式との差異は、以下のように計算される。

前記の項Fは、外部物体力として加える。物体力の離散的格子作用を防ぐために、速度定義に対する修正を有する高次の力の項を用いる必要がある。付加される力の項は圧力勾配なので、平衡分布の正値範囲は悪影響を受けない。しかしながら、この付加的な力の項の計算は、LBMの等方性に影響を及ぼす有限差分計算を必要とする。壁面近傍での勾配の計算はやはり難しく、これは高熱流束シミュレーションに対して非ゼロの法線速度をもたらす可能性がある。
G.温度結合アルゴリズム
前記セクションで検討したように、従来の結合方法自体、長所及び短所を有する。平衡状態の最大次数を変更する場合(セクションE)、得られる圧力勾配は全格子方向を含み、実行するのが容易である。しかしながら、平衡状態が変わると正値範囲が減少するので、LBソルバーの使用可能範囲が縮小する。物体力の項の導入は(セクションF)、平衡状態に影響を及ぼさないので、広範な速度及び温度に対して安定性を提供する。しかしながら、有限ステンシルを用いた勾配の計算は、LBスキームの等方性に影響を及ぼし、グリッド依存性、格子配向依存性、及び正確な境界条件を適用する際の複雑性のようなエラーを発生させる。
本セクションでは、現行の方法の欠点を解消するための温度結合アルゴリズムを説明する。線形安定解析法は、平衡状態が負の場合には必ず衝突が数値的不安定性をもたらすことを示す。さらに、Chapmannマルチスケール展開は、圧力勾配が移流過程の結果であることを示す。従って、温度結合を衝突ステップから取り除き、以下のように移流中に導入することが可能である。

ここで、平衡分布は式(1.2)と同じであり、圧力結合項は以下の通りである。
本実施例では、ρは流体密度、T0は一定格子温度、Pは流体容積中の圧力、Tは移送中の流体温度、及びwiは一定重み因子である。前記方程式(3.1)において、第1の部分は衝突過程の数学的表現(つまり、fi(x,t)+Ci(x,t))であり、Ciは衝突演算子である。この方程式の第2の部分は、熱力学的ステップ(例えば、gi(x,t+Δt)−gi(x,t))である。マルチスケール解析を行うことによって、結合項の2次モーメントは、質量及び運動量保存の式における他の量に影響を及ぼすことなく正確な圧力勾配をもたらすことを示すことができる。
温度結合の別の方法は、以下のように時間変動を結合項に加えることである。

方程式(3.1)と方程式(3.2)との相違は、新たな力の項gがt+Δtで計算される点にある。このことは、追加の時間微分項を質量保存則に導入する。これは静止状態を以下のように変更することによって簡単に取り除くことができる。

移流中に温度を導入するためのこれらの技術は、従来のLBM法に対して最小限の変更を必要とするだけである。経時変化する温度結合のためのアルゴリズムである方程式(3.3)を図12に関して以下に説明する。
図12を参照すると、システムは粒子移送の分布関数を生成する処理1200を実行し、熱力学的ステップは衝突ステップから切り離される。本実施例では、分布関数は移流ステップを含み、熱力学的ステップは、熱力学的ステップで粒子衝突ステップを強化することではなく、熱力学的ステップで移流ステップを強化することによって、分布関数の一部に含まれる。一般に、移流ステップは、粒子の移送を含む(例えば、一方の領域から他方の領域へ水平方向に)。本実施例では、熱力学的ステップは、移送中の流体容積の温度を含む。
作動時、システムは、格子速度セットにおいて、流体容積中の粒子の移送をシミュレートする(1202)。この移送は粒子間の衝突を引き起こす。また、システムは、粒子移送に関する分布関数を生成し(1203)、分布関数は熱力学的ステップ及び粒子衝突ステップを含み、熱力学的ステップは、粒子衝突ステップから実質的に独立して切り離されている。この生成過程は、動作1204、1206、1208、1210、1212、1214、1216、1218を含む。
図12の例では、システムは、特定時間tにおける流体容積中の特定位置xでの衝突に対する衝突後分布関数fi′(x,t)を決定する(1204)。ここで、

であり、ここで、Ciは衝突演算子、fiは衝突前の粒子に関する分布関数である。 本実施例では、システムは、衝突後分布関数fi′(x,t)から分画部分gi(x,t)を差し引いて(1206)、移流前粒子密度関数

を取得するようになっており、gi(x,t)は、移流中に同じ位置に維持する必要がある粒子の分画部分を表す(例えば、移流ステップ中に移流しない粒子部分に対する分布関数)。本実施例では、システムは、粒子を、以下に説明するように移流する第1の部分と、移流ステップ中に移流しない第2の部分とに分割する。 システムは、粒子の第2の部分の、時間t+Δtにおける流体の容量中の他の位置(例えば、隣接セル)への移流をシミュレートし(1208)、他の位置は(x+ciΔt)として表され、ciは衝突前の粒子の速度ベクトルであり、Δtは特定時間tと別の時点との間の間隔である。1つの実施例では、粒子は、離散的な粒子速度方向に沿って隣接セルへ移流する。移流する粒子の一部は、粒子の第2の部分(例えば、fi′(x,t)−gi(x,t))である。システムは、移流のシミュレーションに基づいて移流粒子の密度分布関数

を取得し、ここで
である。
は、以下に説明するように位置x−ciから移流した位置xにおける分布関数である。本実施例では、fi(x−ciΔt,t)は、時間tにおける位置x−ciΔtでの移流前粒子密度分布関数を表す。項x−ciΔtは、粒子が位置xへ移流する別の位置(例えば、隣接セル内)を表す。この別の位置x−ciΔtは、元の位置xと、粒子が時間間隔Δtで(速度値ciに基づいて)移動可能な距離とに基づく。位置x−ciΔtの粒子が位置xへ移流している場合、方程式
は、時間t+Δtにおける粒子位置xでの粒子の分布関数が、時間tにおける位置x−ciΔtでの移流前粒子密度分布関数と同じであることを表す。 システムは、先に差し引いた部分gi(x,t)を密度分布関数

(隣接セルからの移流)に戻して加えて(1212)、以下の移流後密度分布関数を生成するようになっており、
これは、以下のように表すこともできる。
本実施例では、先に差し引いた部分gi(x,t)を密度分布関数に戻して加えることによって、質量が保存されることになる。さらに、前記の方程式の全項の位置xに対してciを付加することで理解できるように、この付加により方程式(3.1)が回復する。
システムは、時間t+Δtにおける位置xでの粒子の質量、運動量、及び温度を計算する(1214)。システムは、計算された温度、質量、及び運動量を用いてgi(x,t+Δt)を決定する(1216)。システムは、温度結合の時間変動を考慮するために、gi(x,t+Δt)−gi(x,t)の差分を各運動状態fi(x,t+Δt)に加える(1218)。この操作は、以下のように式(3.3)を回復させる。

前述の運動状態に加えられた粒子の数は静止状態から差し引かれて、方程式(3.4)のように質量を保存する。方程式(3.4)におけるg項の総和は、非静止状態からの時間t及び時間t+Δtのgグループの粒子の間の粒子数の差分を表す。システムは、全体の質量保存を保証するように、差分を補うために静止状態に関する方程式に総和の項を導入する。システムは、操作1204、1206、1208、1210、1212、1214、1216、1218を繰り返す。1つの時間ステップtから次の時間ステップt+Δtへの全サイクルは、以下同様に繰り返される。
1つの実施例では、方程式(3.1)及び(3.3)は、位置xで速度ciを有する粒子が位置x−ciから移流するのではなく、位置x+ciで速度ciを有する粒子が位置xから移流する場合に得られる。方程式(3.1)を得るために、gが位置x+ciΔtにおいて時間tで計算される(操作1216で)以外、システムは処理1200に含まれる操作を繰り返す。
本明細書に説明される技術を用いると、平衡分布(fieq)は、分布関数(例えば、fi(x+ciΔt,t+Δt))では不変なので、安定範囲は、等温LBMのものと同じままである。これにより、高マッハ数及び高温度範囲用途のシミュレーションが可能となる。加えて、移流の結果として計算された圧力勾配は、全格子方向に関与し、これによりLBMソルバーの等方性が維持される。有限差分近似法を用いて計算された力は付加されないので、局所的な運動量保存が保証される。速度定義は、力の方法とは違って正確であり、離散的な格子作用を除去するために代わりの速度定義を必要とする。本明細書に記載の技術は、大規模な圧力勾配計算及び複雑な境界条件処理を伴わないので、計算コストが低い。また、これらの技術は、壁近傍での正確な圧力勾配を保証する、より簡単な境界条件を有するので、正確な速度プロファイルをもたらす。これは、高温用途の熱流束の予測に関して重要である。これらの技術は、磁力、重力、多相用途での要素間力などの、保存力を伴う任意のLBM用途に容易に拡張することができる。
図13は、ネットワーク環境1300の構成要素のブロック図である。ネットワーク環境1300にはさらにシステム1302を含み(本明細書で説明する技術を実施するための)、そのシステムにはメモリ1304、バスシステム1306、及びプロセッサ1308が含まれる。メモリ1304は、ハードドライブと、ダイナミック・ランダム・アクセス・メモリ、機械可読ハードウェア記憶装置、機械可読媒体又は他タイプの固定機械可読記憶装置などのランダムアクセスメモリとを備えることができる。例えば、データバス及びマザーボードを含むバスシステム1306は、システム1302の構成要素間のデータ通信を確立し制御するために使用することができる。プロセッサ1308は、1又は2以上のマイクロプロセッサ及び/又は処理装置を含むことができる。一般に、プロセッサ1308は、データの受信と記憶、及びネットワーク上の通信(図示せず)が可能な任意の適切なプロセッサ及び/又は論理回路を含むことができる。
システム1302は、サーバ、分散型計算システム、デスクトップ型コンピュータ、ラップトップ、携帯電話機、ラックマウント・サーバなどのデータ受信が可能な種々の計算装置のいずれでもよい。システム1302は、単一のサーバとすること、或いは同じ場所に又は別の場所にある一群のサーバとすることができる。図示するシステム1302は、入力/出力(「I/O」)インタフェース1310を経由してデータを受信することができる。I/Oインタフェース1310は、イーサネット(登録商標)、無線ネットワーク・インタフェース、光ファイバ・ネットワーク・インタフェース、モデムなどの、ネットワーク上のデータを受信可能な任意タイプのインタフェースとすることができる。システム1302は、速度モデル、シミュレーションデータなどを記憶するように構成することができるデータ格納部1312との通信のために設定される。
実施形態は、デジタル電子回路、又はコンピュータハードウエア、ファームウェア、ソフトウェア、又はその組合せに実施することができる。本明細書に説明する技術の装置は、プログラマブルプロセッサによる実行のために機械可読媒体(例えば、ストレージデバイス)に有形に具現化又は記憶されたコンピュータプログラム製品に実施することができ、方法アクションは、入力データに対して演算して出力を生成することにより、本明細書に説明する技術の演算を実行する命令のプログラムを実行するプログラマブルプロセッサによって実行することができる。本明細書に説明する技術は、データ及び命令をデータストレージシステム、少なくとも1つの入力デバイス、及び少なくとも1つの出力デバイスから受信して、データ及び命令をそれらに送信するように結合された少なくとも1つのプログラマブルプロセッサを含むプログラマブルシステム上で実行可能である1つ又はそれよりも多くのコンピュータプログラムで実行することができる。各コンピュータプログラムは、高レベル手順又はオブジェクト指向プログラミング言語、又は必要に応じてアセンブリ又はマシン語で実行することができ、いずれにしても、言語は、コンパイル又は解釈された言語とすることができる。
適切なプロセッサには、一例として、汎用及び専用マイクロプロセッサの両方が挙げられる。一般的に、プロセッサは、命令及びデータを読取専用メモリ及び/又はランダムアクセスメモリから受信することになる。一般的に、コンピュータは、データファイルを記憶する1つ又はそれよりも多くの大容量ストレージデバイスを含むことになり、そのようなデバイスには、内蔵ハードディスク及び取外し可能ディスクのような磁気ディスク、光磁気ディスク、光ディスクが挙げられる。コンピュータプログラム命令及びデータを有形に具現化するのに適するストレージデバイスには、一例として、EPROM、EEPROM、及びフラッシュメモリデバイスのような半導体メモリデバイス、内部ハードディスク及び着脱式ディスクのような磁気ディスク、光磁気ディスク、及びCD−ROMディスクを含む全ての形態の不揮発性メモリが挙げられる。上述のいずれも、ASIC(特定用途向け集積回路)によって補足されるか、又はASICに組み込むことができる。
いくつかの実施を説明した。それにも関わらず、本発明の精神及び範囲から逸脱することなく様々な修正を行うことができることは理解されるであろう。従って、他の実施も以下の特許請求の範囲内である
1300 ネットワーク環境
1302 システム
1304 メモリ
1306 バスシステム
1308 処理装置
1310 インタフェース
1312 データ格納部



  1. 格子速度セットにおいて流体容積中での粒子の移送をシミュレートする段階であって、前記移送が前記粒子間の衝突を引き起こす段階と、
    前記粒子の移送に関する分布関数を生成する段階と、
    を含む方法であって、
    前記分布関数は、熱力学的ステップ及び粒子衝突ステップを含み、前記熱力学的ステップは、前記粒子衝突ステップからは実質的に独立して切り離されている、方法。

  2. 前記分布関数は、移流ステップをさらに含み、前記熱力学的ステップは、前記熱力学的ステップで前記粒子衝突ステップを強化するのではなく、前記熱力学的ステップで前記移流ステップを強化することによって、前記分布関数の一部に含まれる、請求項1に記載の方法。

  3. 前記熱力学的ステップは、前記移送中の前記流体容積の温度を含む、請求項1に記載の方法。

  4. 前記分布関数を生成する段階は、
    特定時間tにおける前記流体容積中の特定位置xでの前記衝突に対する衝突後分布関数fi′(x,t)を決定する段階であって、ここで、fi (x,t)=fi(x,t)+ Ci(x,t)であり、Ciは衝突演算子、fiは前記衝突前の前記粒子に関する分布関数である、段階と、
    分画部分gi(x,t)を前記衝突後分布関数fi′(x,t)から差し引いて移流前粒子密度分布関数fi′′(x,t)= fi′(x, t) −gi(x, t)を得る段階であって、前記粒子の一部fi′(x,t)−gi(x,t)は流体容積中の別の位置に移流し、gi(x,t)は移流しない粒子の分布関数を表す、段階と、
    時間t+Δtにおいて前記粒子の一部が前記流体容積中の他の位置への移流をシミュレートする段階であって、前記他の位置は(x+ciΔt)で表され、ciは衝突前の前記粒子の速度ベクトルであり、Δtは特定の時間tと別の時点との間の間隔である、段階と、
    前記移流シミュレーションに基づいて、前記移流粒子の密度分布関数
    を得る段階であって、
    であり、

    は位置x−ciから移流した位置xにおける粒子の分布関数である、段階と、
    前記先に差し引いた部分gi(x,t)を前記密度分布関数に戻して加えて移流後密度分布関数
    を生成する段階と、
    時間t+Δtにおける位置xでの前記粒子の質量、運動量、及び温度を計算する段階と、
    前記計算された温度、質量、及び運動量を用いてgi(x,t+Δt)を決定する段階と、
    差分gi(x,t+Δt)−gi(x,t)を運動状態fi(x,t)+Ci(x,t)に加える段階と、
    を含む、請求項1に記載の方法。

  5. iは、
    に従って定義され、
    ρは流体密度であり、
    0は一定格子温度であり、
    Pは前記流体容積中の圧力であり、
    Tは前記計算された温度であり、
    iは一定の重み因子である、
    請求項4に記載の方法。

  6. 前記生成される分布関数は、
    であり、
    xは前記容積中の特定位置であり、
    tは特定の第1の時点であり、
    iは前記集合での格子速度のインデックス数であり、
    iは衝突前の前記粒子の速度ベクトルであり、
    iは衝突演算子であり、
    Δtは前記第1の時点と第2の時点との間の間隔であり、
    iは前記熱力学的ステップであり、
    iは時間tにおける位置xでの前記粒子に対する分布関数である、
    請求項4に記載の方法。

  7. 静止状態を
    に一致するように修正することによって、前記質量を保存する段階をさらに含む、請求項4に記載の方法。

  8. 前記粒子の衝突ステップは、等温平衡分布関数を含む、請求項1に記載の方法。

  9. 前記分布関数は、時間t+Δtにおける位置x+ciΔtでの前記粒子に対する分布関数であり、
    で表され、
    xは前記容積中の特定位置であり、
    tは特定の第1の時点であり、
    iは前記セットでの格子速度のインデックス数であり、
    iは衝突演算子であり、
    iは衝突前の前記粒子の速度ベクトルであり、
    Δtは前記第1の時点と第2の時点との間の間隔であり、
    iは前記熱力学的ステップであり、
    iは時間tにおける位置xでの前記粒子に対する分布関数である、
    請求項1に記載の方法。

  10. iは、
    に従って定義され、
    ρは流体密度であり、
    0は一定格子温度であり、
    Pは前記流体容積中の圧力であり、
    Tは前記流体の実際の温度であり、
    iは一定の重み因子である、
    請求項9に記載の方法。

  11. 前記格子速度セットは、格子ボルツマン法に基づく、請求項1に記載の方法。

  12. 1又は2以上の処理装置で実行可能な命令を記憶する1又は2以上の機械可読ハードウェア記憶装置であって、
    格子速度セットにおいて流体容積中での粒子の移送をシミュレートする段階であって、前記移送が前記粒子間の衝突を引き起こす段階と、
    前記粒子の移送に関する分布関数を生成する段階と、
    を含む方法であって、
    前記分布関数は、熱力学的ステップ及び粒子衝突ステップを含み、前記熱力学的ステップは、前記粒子衝突ステップからは実質的に独立して切り離されている、方法を含む、1又は2以上の機械可読ハードウェア記憶装置。

  13. 前記分布関数は、移流ステップをさらに含み、前記熱力学的ステップは、前記熱力学的ステップで前記粒子衝突ステップを強化するのではなく、前記熱力学的ステップで前記移流ステップを強化することによって、前記分布関数の一部に含まれる、請求項12に記載の1又は2以上の機械可読ハードウェア記憶装置。

  14. 前記熱力学的ステップは、前記移送中の前記流体容積の温度を含む、請求項12に記載の1又は2以上の機械可読ハードウェア記憶装置。

  15. 前記分布関数を生成する段階は、
    特定時間tにおける前記流体容積中の特定位置xでの前記衝突に対する衝突後分布関数fi′(x,t)を決定する段階であって、ここで、fi (x,t)=fi(x,t)+ Ci(x,t)であり、Ciは衝突演算子、fiは前記衝突前の前記粒子に関する分布関数である、段階と、
    分画部分gi(x,t)を前記衝突後分布関数fi′(x,t)から差し引いて移流前粒子密度分布関数fi′′(x,t)= fi′(x, t) −gi(x, t)を得る段階であって、前記粒子の一部fi′(x,t)−gi(x,t)は流体容積中の別の位置に移流し、gi(x,t)は移流しない粒子の分布関数を表す、段階と、
    時間t+Δtにおいて前記粒子の一部が前記流体容積中の他の位置への移流をシミュレートする段階であって、前記他の位置は(x+ciΔt)で表され、ciは衝突前の前記粒子の速度ベクトルであり、Δtは特定の時間tと別の時点との間の間隔である、段階と、
    前記移流シミュレーションに基づいて、前記移流粒子の密度分布関数
    を得る段階であって、
    であり、
    は位置x−ciから移流した位置xにおける粒子の分布関数である、段階と、
    前記先に差し引いた部分gi(x,t)を前記密度分布関数に戻して加えて移流後密度分布関数
    を生成する段階と、
    時間t+Δtにおける位置xでの前記粒子の質量、運動量、及び温度を計算する段階と、
    前記計算された温度、質量、及び運動量を用いてgi(x,t+Δt)を決定する段階と、
    差分gi(x,t+Δt)−gi(x,t)を運動状態fi(x,t)+Ci(x,t)に加える段階と、
    を含む、請求項12に記載の1又は2以上の機械可読ハードウェア記憶装置。

  16. iは、
    に従って定義され、
    ρは流体密度であり、
    0は一定格子温度であり、
    Pは前記流体容積中の圧力であり、
    Tは前記計算された温度であり、
    iは一定の重み因子である、
    請求項15に記載の1又は2以上の機械可読ハードウェア記憶装置。

  17. 前記生成される分布関数は、
    であり、
    xは前記容積中の特定位置であり、
    tは特定の第1の時点であり、
    iは前記集合での格子速度のインデックス数であり、
    iは衝突前の前記粒子の速度ベクトルであり、
    iは衝突演算子であり、
    Δtは前記第1の時点と第2の時点との間の間隔であり、
    iは前記熱力学的ステップであり、
    iは時間tにおける位置xでの前記粒子に対する分布関数である、
    請求項15に記載の1又は2以上の機械可読ハードウェア記憶装置。

  18. 静止状態を
    に一致するように修正することによって、前記質量を保存する段階をさらに含む、請求項15に記載の1又は2以上の機械可読ハードウェア記憶装置。

  19. 前記粒子の衝突ステップは、等温平衡分布関数を含む、請求項12に記載の1又は2以上の機械可読ハードウェア記憶装置。

  20. 前記分布関数は、時間t+Δtにおける位置x+ciΔtでの前記粒子に対する分布関数であり、
    で表され、
    xは前記容積中の特定位置であり、
    tは特定の第1の時点であり、
    iは前記セットでの格子速度のインデックス数であり、
    iは衝突演算子であり、
    iは衝突前の前記粒子の速度ベクトルであり、
    Δtは前記第1の時点と第2の時点との間の間隔であり、
    iは前記熱力学的ステップであり、
    iは時間tにおける位置xでの前記粒子に対する分布関数である、
    請求項12に記載の1又は2以上の機械可読ハードウェア記憶装置。

  21. iは、
    に従って定義され、
    ρは流体密度であり、
    0は一定格子温度であり、
    Pは前記流体容積中の圧力であり、
    Tは前記流体の実際の温度であり、
    iは一定の重み因子である、
    請求項20に記載の1又は2以上の機械可読ハードウェア記憶装置。

  22. 前記格子速度セットは、格子ボルツマン法に基づく、請求項12に記載の1又は2以上の機械可読ハードウェア記憶装置。

  23. 1又は2以上の処理装置と、
    前記1又は2以上の処理装置で実行可能な命令を記憶する1又は2以上の機械可読ハードウェア記憶装置と、
    を含むシステムであって、前記1又は2以上の機械可読ハードウェア記憶装置は、
    格子速度セットにおいて流体容積中での粒子の移送をシミュレートする段階であって、前記移送が前記粒子間の衝突を引き起こす段階と、
    前記粒子の移送に関する分布関数を生成する段階と、
    を含む方法であって、
    前記分布関数は、熱力学的ステップ及び粒子衝突ステップを含み、前記熱力学的ステップは、前記粒子衝突ステップからは実質的に独立して切り離されている方法を含む、システム。

  24. 前記分布関数は、移流ステップをさらに含み、前記熱力学的ステップは、前記熱力学的ステップで前記粒子衝突ステップを強化するのではなく、前記熱力学的ステップで前記移流ステップを強化することによって、前記分布関数の一部に含まれる、請求項23に記載のシステム。

  25. 前記熱力学的ステップは、前記移送中の前記流体容積の温度を含む、請求項23に記載のシステム。

  26. 前記分布関数を生成する段階は、
    特定時間tにおける前記流体容積中の特定位置xでの前記衝突に対する衝突後分布関数fi′(x,t)を決定する段階であって、ここで、fi (x,t)=fi(x,t)+ Ci(x,t)であり、Ciは衝突演算子、fiは前記衝突前の前記粒子に関する分布関数である、段階と、
    分画部分gi(x,t)を前記衝突後分布関数fi′(x,t)から差し引いて移流前粒子密度分布関数fi′′(x,t)= fi′(x, t) −gi(x, t)を得る段階であって、前記粒子の一部fi′(x,t)−gi(x,t)は流体容積中の別の位置に移流し、gi(x,t)は移流しない粒子の分布関数を表す、段階と、
    時間t+Δtにおいて前記粒子の一部が前記流体容積中の他の位置への移流をシミュレートする段階であって、前記他の位置は(x+ciΔt)で表され、ciは衝突前の前記粒子の速度ベクトルであり、Δtは特定の時間tと別の時点との間の間隔である、段階と、
    前記移流シミュレーションに基づいて、前記移流粒子の密度分布関数
    を得る段階であって、
    であり、
    は位置x−ciから移流した位置xにおける粒子の分布関数である、段階と、
    前記先に差し引いた部分gi(x,t)を前記密度分布関数に戻して加えて移流後密度分布関数
    を生成する段階と、
    時間t+Δtにおける位置xでの前記粒子の質量、運動量、及び温度を計算する段階と、
    前記計算された温度、質量、及び運動量を用いてgi(x,t+Δt)を決定する段階と、
    差分gi(x,t+Δt)−gi(x,t)を運動状態fi(x,t)+Ci(x,t)に加える段階と、
    を含む、請求項23に記載のシステム。

  27. iは、
    に従って定義され、
    ρは流体密度であり、
    0は一定格子温度であり、
    Pは前記流体容積中の圧力であり、
    Tは前記計算された温度であり、
    iは一定の重み因子である、
    請求項26に記載のシステム。

  28. 前記生成される分布関数は、
    であり、
    xは前記容積中の特定位置であり、
    tは特定の第1の時点であり、
    iは前記集合での格子速度のインデックス数であり、
    iは衝突前の前記粒子の速度ベクトルであり、
    iは衝突演算子であり、
    Δtは前記第1の時点と第2の時点との間の間隔であり、
    iは前記熱力学的ステップであり、
    iは時間tにおける位置xでの前記粒子に対する分布関数である、
    請求項26に記載のシステム。

  29. 前記操作は、静止状態を
    に一致するように修正することによって、前記質量を保存する段階をさらに含む、請求項26に記載のシステム。

  30. 前記粒子の衝突ステップは、等温平衡分布関数を含む、請求項23に記載のシステム。

  31. 前記分布関数は、時間t+Δtにおける位置x+ciΔtでの前記粒子に対する分布関数であり、
    で表され、
    xは前記容積中の特定位置であり、
    tは特定の第1の時点であり、
    iは前記セットでの格子速度のインデックス数であり、
    iは衝突演算子であり、
    iは衝突前の前記粒子の速度ベクトルであり、
    Δtは前記第1の時点と第2の時点との間の間隔であり、
    iは前記熱力学的ステップであり、
    iは時間tにおける位置xでの前記粒子に対する分布関数である、
    請求項23に記載のシステム。

  32. iは、
    に従って定義され、
    ρは流体密度であり、
    0は一定格子温度であり、
    Pは前記流体容積中の圧力であり、
    Tは前記流体の実際の温度であり、
    iは一定の重み因子である、
    請求項23に記載のシステム。

  33. 前記格子速度セットは、格子ボルツマン法に基づく、請求項32に記載のシステム。

 

 

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